Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=4，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥平面PAB；
（2）求異面直線PC與AD所成的角的大��；
（3）求二面角P-BD-A的平面角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由勾股定理逆定理，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)得到AD⊥PA，又AD⊥AB，PA、AB是平面PAB內(nèi)的相交直線，所以AD⊥平面PAB；
（2）利用條件借助圖形，利用異面直線所成角的定義找到共面的兩條相交直線，然后結(jié)合解三角形有關知識解出即可；
（3）通過把二面角轉(zhuǎn)化為其平面角PEH，然后在RT△PHE中，求出其正切值即可．

解答： （1）證明：在△PAD中，由題設PA=AD=2，PD=2

2

，可得PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA，
∵在矩形ABCD中，AD⊥AB，PA、AB是平面PAB內(nèi)的相交直線，
∴AD⊥平面PAB；
（2）解：由題設，BC∥AD，
∴∠PCB（或其補角）是異面直線PC與AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得PB=

4+16-2•2•4• 1 2

=2

3

由（1）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=

3

．
∴異面直線PC與AD所成的角的大小為60°．
（3）解：過點P做PH⊥AB于H，
過點H做HE⊥BD于E，連接PE
∵AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，
∞AD⊥PH．
又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影．
∴BD⊥PE，
從而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由題設可得，PH=PA•sin60°=

3

，AH=PA•cos60°=1，BH=AB-AH=3，
BD=2

5

，HE=

AD

BD

•BH=

3

5

，
于是在RT△PHE中，tan∠PEH=

3

3 5

=

15

3

，
∴二面角P-BD-A的正切值大小為

15

3

．

點評：本題考查線面垂直的判定，以及二面角的證明，通過對四棱錐的考查，以及直角三角形的考查，得到要求的結(jié)果，屬于中檔題．