已知函數(shù)f(x)=
2x-a
x2+2
(x∈R).
(1)當(dāng)f(1)=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=
1
x
的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,且-1≤a≤1,求|x1-x2|的最大值;
(3)在(2)的條件下,若對(duì)于[-1,1]上的任意實(shí)數(shù)t,不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)先由f(1)=1解得a,用導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性;(2)方程f(x)=
1
x
可化為x2-ax-2=0,△=a2+8>0,可知方程x2-ax-2=0有兩不同的實(shí)根x1,x2,再由韋達(dá)定理建立|x1-x2|=
(x1+x22-4x1x2
=
a2+8
模型求解;(3)若不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,
結(jié)合(2)可轉(zhuǎn)化為m2+tm-2≥0,t∈[-1,1]都成立,再求g(t)=m2+tm-2最小值即可.
解答:解:(1)由f(1)=1得a=-1,
f′(x)=
2(x2+2)-2x(x+1)
(x2+2)2
=
-2(x2+x-2)
(x2+2)2
=
-2(x+2)(x-1)
(x2+2)2
≥0
-2≤x≤1,所以f(x)的減區(qū)間是(-∞,-2]和[1,+∞),增區(qū)間是[-2,1](5分)
(2)方程f(x)=
1
x
可化為x2-ax-2=0,△=a2+8>0
∴x2-ax-2=0有兩不同的實(shí)根x1,x2
則x1+x2=a,x1x2=-2
∴|x1-x2|=
(x1+x22-4x1x2
=
a2+8

∵-1≤a≤1,∴當(dāng)a=±1時(shí),
∴|x1-x2|max=
a1+8
=3
(3)若不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,
由(2)可得m2+tm+1≥3,對(duì)t∈[-1,1]都成立m2+tm-2≥0,t∈[-1,1],
設(shè)g(t)=m2+tm-2
若使t∈[-1,1]時(shí)g(t)≥0都成立,
g(-1)=-m+m2-2≥0
g(1)=m+m2-2≥0

解得:m≥2或m≤-2,所以m的取值范圍是m≥2或m≤-2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性,一元二次方程根的問(wèn)題及不等式恒成立問(wèn)題,同時(shí)考查轉(zhuǎn)化化歸的思想.
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已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )

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(1)若a1=0,求a2,a3,a4;
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說(shuō)明理由.

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選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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