Question

已知動圓P過定點F（2，0）且與直線x=-2相切，圓心P的軌跡為曲線C
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）①過定點f（2，0）作互相垂直的直線l₁，l₂分別交軌跡C于點M，N和點R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值；
②定點P（2，4），動點A，B是軌跡C上的三個點，且滿足k_PA•k_PB=8，試問AB所在的直線是否過定點，若是，求出該定點的坐標；否則說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件知圓心P的軌跡是焦點為F（2，0），準線為直線x=-2的拋物線，由此能求出點M的軌跡方程．
（Ⅱ）①設(shè)直線MN的方程為y=k（x-2），與y²=8x聯(lián)立得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，由拋物線定義得到|MN|=|MF|+|NF|=

8(k2+1)

k2

，同理|RQ|=8（k²+1），由此能求出四邊形MRNQ的面積的最小值．
②設(shè)A（

y12

8

，y1），B（

y22

8

，y2），則kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，從而得到y(tǒng)₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0，由此能證明直線AB過定點（1，-4）．

解答： 解：（Ⅰ）∵動圓P過定點F（2，0）且與直線x=-2相切，
∴圓心P的軌跡是焦點為F（2，0），準線為直線x=-2的拋物線，
∴點M的軌跡方程是y²=8x．
（Ⅱ）①由題意知直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，
設(shè)直線MN的方程為y=k（x-2），與y²=8x聯(lián)立得：
k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，
由拋物線定義知：|MN|=|MF|+|NF|=x₁+x₂+4=

8(k2+1)

k2

，
同理RQ的方程為y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8（k²+1），
∴S_△RNQ=

1

2

|MN|•|RQ|
=32•

(k2+1)2

k2

=32（k²+

1

k2

+2）
≥32（2+2）=128，
當且僅當k²=1，即k=±1時取“=”號，
∴四邊形MRNQ的面積的最小值為128．
②設(shè)A（

y12

8

，y1），B（

y22

8

，y2），y₁≠y₂，
∴kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，
∴k_PA•k_PB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0，…（※）
lAB：y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，∴y=

8

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
則y₁y₂-（y₁+y₂）y+8x=0，
與（※）比較可知，直線AB過定點（1，-4）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查四邊形面積最小值的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．