Question

已知（

3

x

+x²）²ⁿ的展開式的二項式系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開式的二項式系數(shù)和大992．求（2x-

1

x

）¹⁰的展開式中，
（1）二項式系數(shù)最大的項；
（2）系數(shù)的絕對值最大的項．

Answer 1

考點：二項式定理

專題：二項式定理

分析：（1）由條件求得m=5，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可得第6項的二項式系數(shù)最大，由通項公式可得該項．
（2）設(shè)第r+1項的系數(shù)的絕對值最大，由通項公式可得

C r 10 •210-r ≥C r+1 10 •29-r C r 10 •211-r ≥C r-1 10 •211-r

，求得 r=3，可得第4項的系數(shù)的絕對值最大，再利用二項式展開式的通項公式，求得該項．

解答： 解：（1）由題意可得 2²ⁿ=2ⁿ+992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，∴2ⁿ=32，n=5．
由于（2x-

1

x

）¹⁰的展開式共有11項，故第6項的二項式系數(shù)最大，由通項公式可得該項為 T₆=

C

5 10

•（-1）⁵•2⁵=-8064．
（2）設(shè)第r+1項的系數(shù)的絕對值最大，∵T_r+1=

C

r 10

•（-1）^r•2^10-r•x^10-2r，∴

C r 10 •210-r ≥C r+1 10 •29-r C r 10 •211-r ≥C r-1 10 •211-r

，
求得

8

3

≤r≤

11

3

，∴r=3，故第4項的系數(shù)的絕對值最大，該項為T₄=

C

3 10

•2⁷•x⁴=-15360x⁴．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．