Question

13．某品牌的汽車4S店，對最近100例分期付款購車情況進行統計，統計結果如表所示，已知分9期付款的頻率為0.4；該店經銷一輛該品牌的汽車．若顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為2萬元；分12期付款，其利潤為3萬元．

付款方式	分3期	分6期	分9期	分12期
頻數	20	20	a	b

（1）若以表中計算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購車的顧客（數量較大）中隨機抽取3位顧客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；
（2）按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人，再從抽出的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量η，求η的分布列及數學期望E（η）．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{a}{100}$=0.4，得a=40，20+a+20+b=100，解得b．記分期付款的期數為ξ，依題意即可得出其概率．進而定點“購買該品牌汽車的3為顧客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）．
（2）按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人，則顧客分3期付款與分6期付款的各為1人，分9期付款的為2人，分12期付款為1人．則η的可能取值為5，6，7．利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式可得其概率，進而得到分布列與數學期望．

解答 解：（1）由$\frac{a}{100}$=0.4，得a=40，
∵20+a+20+b=100，∴b=20
記分期付款的期數為ξ，依題意得：
P（ξ=3）=$\frac{20}{100}$=0.2，P（ξ=6）=$\frac{20}{100}$=0.2，P（ξ=9）=$\frac{40}{100}$=0.4，P（ξ=12）=$\frac{20}{100}$=0.2．
則“購買該品牌汽車的3為顧客中至多有1位采用3期付款”的概率
P（A）=${∁}_{3}^{0}×0．{8}^{3}$+${∁}_{3}^{1}×0．{8}^{2}×0.2$=0.896．
（2）按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人，則顧客分3期付款與分6期付款的各為1人，分9期付款的為2人，分12期付款為1人．則η的可能取值為5，6，7．
P（η=5）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=9）+P（ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=9）=$\frac{{∁}_{1}^{1}×{∁}_{1}^{1}×{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{3}}$+$\frac{{∁}_{1}^{1}×{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$．
P（η=6）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=12）+P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=9）+P（ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=12）=$\frac{{∁}_{1}^{1}{∁}_{1}^{1}{∁}_{1}^{1}+{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{2}+{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{3}}$=$\frac{4}{10}$，
P（η=7）=P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=12）+P（ξ=9）×P（ξ=9）×P（ξ=12）=$\frac{{∁}_{1}^{1}×{∁}_{2}^{1}×{∁}_{1}^{1}+{∁}_{2}^{2}×{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$．
列表如下：

η	5	6	7
P	0.3	0.4	0.3

所以η的數學期望E（η）=5×0.3+6×0.4+7×0.3=6（萬元）．

點評 本題考查概率與頻率的關系、離散型隨機變量的分布列與數學期望的求法、相互獨立與互斥事件的概率計算公式，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．