Question

4．已知橢圓Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F(xiàn)₂與橢圓上點(diǎn)的連線的中最短線段的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$-1．
（1）求橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知Г上存在一點(diǎn)P，使得直線PF₁，PF₂分別交橢圓Г于A，B，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}B}$（λ＞0），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a-c=$\sqrt{2}$-1，b²=a²-c²，聯(lián)立解出即可得出橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點(diǎn)P（x₀，y₀），直線PA的方程：x=my-1，與橢圓方程聯(lián)立化為：（m²+2）y²-2my-1=0，可得y₀•y₁=$\frac{-1}{{m}^{2}+2}$，x₀=my₀-1，解得m=$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$．可得$\frac{|P{F}_{1}|}{|{F}_{1}A|}$=-$\frac{{y}_{0}}{{y}_{1}}$=3+2x₀=2．解得x₀，可得P坐標(biāo)．利用點(diǎn)斜式可得直線PF₂的方程，代入橢圓方程可即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a-c=$\sqrt{2}$-1，b²=a²-c²，解得：a²=2，c=1，b=1．
∴橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點(diǎn)P（x₀，y₀），直線PA的方程：x=my-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為：（m²+2）y²-2my-1=0，
∴y₀•y₁=$\frac{-1}{{m}^{2}+2}$，x₀=my₀-1，
∴m=$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$．
∴$\frac{|P{F}_{1}|}{|{F}_{1}A|}$=-$\frac{{y}_{0}}{{y}_{1}}$=-$\frac{{y}_{0}}{-\frac{1}{（{m}^{2}+2）{y}_{0}}}$=$（{m}^{2}+2）{y}_{0}^{2}$=$[\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{{y}_{0}^{2}}+2]$${y}_{0}^{2}$=$（{x}_{0}+1）^{2}$+2${y}_{0}^{2}$=$（{x}_{0}+1）^{2}$+2-${x}_{0}^{2}$=3+2x₀．
∴3+2x₀=2，解得x₀=-$\frac{1}{2}$，∴P$（-\frac{1}{2}，±\frac{\sqrt{14}}{4}）$．
（i）當(dāng)取P$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{14}}{4}）$時(shí)，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{-\frac{1}{2}-1}$=-$\frac{\sqrt{14}}{6}$，可得直線PF₂的方程：y=-$\frac{\sqrt{14}}{6}$（x-1），即x=-$\frac{6}{\sqrt{14}}$y+1．
代入橢圓方程可得：$\frac{32}{7}$y²-$\frac{12}{\sqrt{14}}$y-1=0，∴y₂•y₀=-$\frac{7}{32}$，而y₀=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴y₂=-$\frac{7}{8\sqrt{14}}$，∴$\frac{|P{F}_{2}|}{|{F}_{2}B|}$=-$\frac{{y}_{0}}{{y}_{2}}$=-$\frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{-\frac{7}{8\sqrt{14}}}$=4，即λ=4．
（ii）當(dāng)P$（-\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{14}}{4}）$時(shí)，同理可得：λ=4．
綜上可得：λ=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．