Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率.過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)位于第一象限，且，求的外接圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由的周長(zhǎng)為得，再結(jié)合即可解出a，b；

（2）設(shè)，由得，聯(lián)立橢圓方程可解得A點(diǎn)坐標(biāo)，然后再寫出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程得到B點(diǎn)坐標(biāo)即可解決.

解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，

所以①.

又的周長(zhǎng)為，所以.②

聯(lián)立①②，解得，從而，

因此橢圓的方程為.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)位于第一象限，故設(shè)，其中.

因?yàn)?/span>，所以，又點(diǎn)在橢圓上，

所以解得，從而.

由（1）知，橢圓的左焦點(diǎn)為，所以直線的方程為．

由得，解得或．

所以.

因?yàn)?/span>，所以的外接圓就是以為直徑的圓.

又橢圓的右焦點(diǎn)為，

所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，

故的外接圓的方程為.