Question

已知圓O：x²+y²=1和點(diǎn)A（-2，0），若定點(diǎn)B（b，0）（b≠-2）和常數(shù)λ滿(mǎn)足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，則：
（Ⅰ）b=

 

；
（Ⅱ）λ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三點(diǎn)共線(xiàn)

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（Ⅰ）利用|MB|=λ|MA|，可得（x-b）²+y²=λ²（x+2）²+λ²y²，由題意，�。�1，0）、（-1，0）分別代入，即可求得b；
（Ⅱ）�。�1，0）、（-1，0）分別代入，即可求得λ．

解答： 解：解法一：設(shè)點(diǎn)M（cosθ，sinθ），則由|MB|=λ|MA|得（cosθ-b）²+sin²θ=λ²[（cosθ+2）²+sin²θ]，即
-2bcosθ+b²+1=4λ²cosθ+5γ²對(duì)任意θ都成立，所以

-2b=4λ2 b2+1=5λ2

．又由|MB|=λ|MA|得λ＞0，且b≠-2，解得

b=- 1 2 λ= 1 2

．
解法二：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則
∵|MB|=λ|MA|，
∴（x-b）²+y²=λ²（x+2）²+λ²y²，
由題意，�。�1，0）、（-1，0）分別代入可得（1-b）²=λ²（1+2）²，（-1-b）²=λ²（-1+2）²，
∴b=-

1

2

，λ=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=

1

2

．
故答案為：-

1

2

，

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查賦值法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．