Question

17．三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=1，PA⊥PB，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（　�。�

• A． 12π
• B． 3π
• C． $\frac{π}{6}$
• D． 2π

Answer 1

分析 證明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖，則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC外接球．算出長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)即為球直徑，結(jié)合球的表面積公式，可算出三棱錐P-ABC外接球的表面積．

解答 解：∵三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=2，
∴△PAB≌△PAC≌△PBC．
∵PA⊥PB，
∴PA⊥PC，PB⊥PC．
以PA、PB、PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖：
則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC外接球．
∵長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，
∴球直徑為$\sqrt{3}$，半徑R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此，三棱錐P-ABC外接球的表面積是4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=3π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)公式和球的表面積計(jì)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．