Question

16．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，且AA₁=2AB=2BC=2，E，M分別是CC₁，AB₁的中點． 
（Ⅰ）證明：EM∥平面ABC；
（Ⅱ）求直線A₁E與平面AEB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-EM-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以點B為原點，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{B{B_1}}$，$\overrightarrow{BA}$分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明EM∥平面ABC．
（Ⅱ）求出面AEB₁的法向量，由此利用向量法能求出直線A₁E與平面AEB₁所成角的正弦值．
（Ⅲ）求出面BEM的法向量，利用向量法能求出二面角B-EM-B₁的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
又∵AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCC₁B₁．  …（1分）
如圖，以點B為原點，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{B{B_1}}$，$\overrightarrow{BA}$分別為x軸、y軸、z軸正方向，
建立空間直角坐標系，則B（0，0，0），C（1，0，0），B₁（0，2，0），
A（0，0，1），C₁（1，2，0），A₁（0，2，1）．            …（3分）
∵E，M分別是CC₁，AB₁的中點，
∴E（1，1，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{EM}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$）．
平面ABC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，2，0），
∵$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{m}$=0，∴$\overrightarrow{EM}$⊥$\overrightarrow{m}$．
又∵EM?平面ABC，∴EM∥平面ABC．   …（6分）
（Ⅱ）$\overrightarrow{A{B_1}}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{E{B_1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{E{A_1}}$=（-1，1，1）．
設$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁）為面AEB₁的法向量，則$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{A{B_1}}$=$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{E{B_1}}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}2{y_1}-{z_1}=0\\-{x_1}+{y_1}=0\end{array}\right.$取y₁=1，則x₁=1，z₁=2，從而$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，2），
設直線A₁E與平面AEB₁所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{E{A_1}}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{E{A}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{1}}|}{|\overrightarrow{E{A}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{1}}|}$=$\frac{2}{{\sqrt{6}•\sqrt{3}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
即直線A₁E與平面AEB₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．…（10分）
（Ⅲ）$\overrightarrow{BE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$）．
設$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂）為面BEM的法向量，則$\overrightarrow{{n}_{2}}$•$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{{n}_{2}}$•$\overrightarrow{BM}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x_2}+{y_2}=0\\{y_2}+\frac{1}{2}{z_2}=0\end{array}\right.$取z₂=2，則x₂=1，y₂=-1，從而$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}$=$\frac{2}{3}$，
由圖形可知所求二面角的平面角為鈍角，
∴二面角B-EM-B₁的余弦值為-$\frac{2}{3}$． …（13分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面所的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．