Question

1．已知某中學(xué)食堂每天供應(yīng)3000名學(xué)生用餐，為了改善學(xué)生伙食，學(xué)校每星期一有A、B兩種菜可供大家免費(fèi)選擇（每人都會(huì)選而且只能選一種菜）．調(diào)查資料表明，凡是在這星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有40%改選A種菜．用a_n，b_n分別表示在第n個(gè)星期一選A的人數(shù)和選B的人數(shù)，如果a₁=2000．
（1）請(qǐng)用a_n、b_n表示a_n+1與b_n+1；
（2）證明：數(shù)列{a_n-2000}是常數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）凡是在這星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有40%改選A種菜，即可求得a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$b_n，b_n+1=$\frac{1}{5}$a_n+$\frac{3}{5}$；
（2）由a_n+b_n=3000，將b_n=3000-a_n，代入a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$b_n，整理即可得到a_n+1-2000=$\frac{2}{5}$（a_n-2000），由a₁-2000=0，故數(shù)列{a_n-2000}是常數(shù)列．

解答 解：（1）由題意知：a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$b_n，b_n+1=$\frac{1}{5}$a_n+$\frac{3}{5}$b_n---------（6分）
（2）證明：∵a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$b_n，且a_n+b_n=3000，
∴a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$（3000-a_n），
∴a_n+1=$\frac{2}{5}$a_n+1200-----（8分）
∴a_n+1-2000=$\frac{2}{5}$（a_n-2000）---------（10分）
又∵a₁-2000=0，
∴數(shù)列{a_n-2000}是常數(shù)列．-------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．