設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)當(dāng)a=
1
3
時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2bx-
5
12
,若對(duì)于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求出當(dāng)a=1時(shí),f(x)的表達(dá)式和導(dǎo)數(shù),及切線的斜率,切點(diǎn),求出切線方程;
(Ⅱ)求出導(dǎo)數(shù)f′(x),并分解因式,討論a=0,a≠0時(shí)分0<a<
1
2
,a=
1
2
,a>
1
2
,a<0,求出單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若對(duì)于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值
不大于f(x)在[1,2]上的最小值.由(Ⅱ)知f(x)在[1,2]上遞增,所以f(x)在[1,2]上的最小值
為f(1)=-
2
3
,就b討論:b<0,0≤b≤1,b>1時(shí)g(x)的最小值,再解不等式即可得到.
解答: 解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=lnx-x-1,f′(x)=
1
x
-1,
∴f′(1)=0,f(1)=-2,∴曲線f(x)在x=1處的切線方程為y=-2.
(Ⅱ)f′(x)=
1
x
-a-
1-a
x2
=
-(x-1)[ax-(1-a)]
x2
(x>0)
當(dāng)a=0,f′(x)=
1
x
-
1
x2
,f(x)的增區(qū)間是(1,+∞),減區(qū)間是(0,1),
當(dāng)a≠0時(shí),
1-a
a
>1,即0<a<
1
2
時(shí),f(x)的增區(qū)間是(1,
1-a
a
),減區(qū)間是(0,1),(
1-a
a
,+∞),
1-a
a
=1,即a=
1
2
,f(x)的增區(qū)間為(0,+∞),無減區(qū)間;
1-a
a
<1,即a>
1
2
或a<0,a>
1
2
時(shí),f(x)的增區(qū)間是(
1-a
a
,1),減區(qū)間是(0,
1-a
a
),(1,+∞),
a<0,f(x)的增區(qū)間是(0,
1-a
a
),(1,+∞),減區(qū)間是(
1-a
a
,1);
(Ⅲ)當(dāng)a=
1
3
時(shí),由(Ⅱ)知f(x)在[1,2]上遞增,
所以f(x)在[1,2]上的最小值為f(1)=-
2
3
,
若對(duì)于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值
不大于f(x)在[1,2]上的最小值.
又g(x)=x2-2bx-
5
12
=(x-b)2-b2-
5
12
,x∈[0,1],
①當(dāng)b<0,g(x)在[0,1]上遞增,g(x)min=g(0)=-
5
12
>-
2
3
,不成立;
②當(dāng)0≤b≤1,g(x)min=g(b)=-b2-
5
12
,由-b2-
5
12
≤-
2
3
及0≤b≤1,
1
2
≤b≤1;
③當(dāng)b>1時(shí),g(x)在[0,1]上遞減,g(x)min=g(1)=
7
12
-2b≤-
2
3
,此時(shí)b>1,
綜上,b的取值范圍是[
1
2
,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用:求切線方程、求單調(diào)區(qū)間和最值,考查分類討論的思想方法,考查不等式的恒成立或存在性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值之間的關(guān)系,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(文) 定義:區(qū)間[x1,x2](x1<x2)的長度為x2-x1.已知函數(shù)y=2|x|的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇1,2],則區(qū)間[a,b]的長度的最大值與最小值的差為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-x.
(1)求曲線y=f(x)在x=t處的切線方程;
(2)若在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)P(a,0),過點(diǎn)P可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求(x2-
1
2x
9展開式中的常數(shù)項(xiàng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為
15
.求拋物線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡記為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)A,B是曲線C上的兩點(diǎn),O是原點(diǎn),若△OAB是等邊三角形,求OA的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)兩個(gè)非零向量
e1
e2
不共線.
(1)如果
AB
=
e1
+
e2
,
BC
=2
e1
+8
e2
,
CD
=3
e1
-3
e2
,求證:A、B、D三點(diǎn)共線;
(2)若|
e1
|=2,|
e2
|=3,
e1
e2
的夾角為60°,是否存在實(shí)數(shù)m,使得m
e1
+
e2
e1
-
e2
垂直?并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解不等式:
(Ⅰ)|1-2x|≤3;         
(Ⅱ)1≤|x+1|<5.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算3 log31+log248-log23=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案