Question

17．已知對數(shù)函數(shù)f（x）=（m²-m-1）log_m+1x，且g（x）是f（x）的反函數(shù)．
（1）求f（x）和g（x）的表達式；并指出它們的定義域和值域；
（2）求f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{9}，27}]$上的最大值和最小值；
（3）在同一平面直角坐標系中作出f（x）和g（x）的圖象；并指出它們的圖象關(guān)于哪一條直線對稱？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，反函數(shù)的定義求f（x）和g（x）的表達式；并指出它們的定義域和值域；
（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{9}，27}]$上的最大值和最小值；
（3）在同一平面直角坐標系中作出f（x）和g（x）的圖象，如圖所示，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-m-1=1}\\{m+1＞0}\\{m+1≠1}\end{array}\right.$，
∴m=2，
∴f（x）=log₃x，定義域為（0，+∞），值域為R，g（x）=3^x，定義域為R，值域為（0，+∞）；
（2）f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{9}，27}]$上的最大值為3，最小值為-2；
（3）在同一平面直角坐標系中作出f（x）和g（x）的圖象，如圖所示，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，考查反函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．