Question

11．已知$\overrightarrow a$=（2sinx，cos²x），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2），f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞減區(qū)間；
（2求函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．根據向量的數量積的運用可得f（x）的解析式，化簡，利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的減區(qū)間上，解不等式得函數的單調遞減區(qū)間；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，可得出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：$\overrightarrow a$=（2sinx，cos²x），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2），
由f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由2k$π+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：k$π+\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}+kπ$
∴f（x）的單調遞減區(qū)間為[：k$π+\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]上時，
可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，函數f（x）取得最小值為2sin$\frac{7π}{6}$+1=0．
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最小值為2sin$\frac{π}{2}$+1=3．
故得函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值3，最小值0．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．