Question

20．已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．
（1）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；
（2）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，利用古典概型的概率求解即可；
（2）X的可能取值為：200，300，400；求出對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，然后計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，
則P（A）=$\frac{{A}_{2}^{1}{•A}_{3}^{1}}{{A}_{5}^{2}}$=$\frac{2×3}{20}$=$\frac{3}{10}$；
（2）X的可能取值為200，300，400，
P（X=200）=$\frac{{A}_{2}^{2}}{{A}_{5}^{2}}$=$\frac{2}{20}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=300）=$\frac{{A}_{3}^{3}{+C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}{•A}_{2}^{2}}{{A}_{5}^{3}}$=$\frac{6+2×3×2}{60}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=400）=1-P（X=200）-P（X=300）=1-$\frac{1}{10}$-$\frac{3}{10}$=$\frac{3}{5}$；
所以X的分布列為：

X	200	300	400
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$

數(shù)學(xué)期望為EX=200×$\frac{1}{10}$+300×$\frac{3}{10}$+400×$\frac{3}{5}$=350．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了概率、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．