Question

數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n，n＞1時，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0）恒成立．    
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）設數列{a_n}的公比為f（t），令b₁=1，且n≥2時，b_n=f（

1

bn-1

），求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由于n＞1時，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0）恒成立，3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t（t＞0）．兩式相減可得：

an+1

an

=

2t+3

3t

為不等式0的常數，即可證明數列{a_n}是等比數列；
（II）由（I）可得f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，b_n=f（

1

bn-1

）=

2

3

+bn-1，可得數列{b_n}是等差數列．
（III）由于b_2n=

4n+1

3

，b_2n-1-b_2n+1=-

4

3

．利用等差數列的前n項和公式即可得出．

解答： （I）證明：∵n＞1時，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0）恒成立，
∴3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t（t＞0）．
∴3ta_n+1-（2t+3）a_n=0，化為

an+1

an

=

2t+3

3t

為不等式0的常數，
∴數列{a_n}是等比數列；
（II）解：由（I）可得f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，
∴b_n=f（

1

bn-1

）=

2

3

+bn-1，
∴b_n-b_n-1=

2

3

，
∴數列{b_n}是等差數列，
∴b_n=1+

2

3

(n-1)=

2n+1

3

．
（III）∵b_2n=

4n+1

3

，b_2n-1-b_2n+1=-

4

3

．
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=-

4

3

(

5

3

+

9

3

+…+

4n+1

3

)=-

4

3

×

n( 5 3 + 4n+1 3 )

2

=-

8n2+12n

9

．

點評：本題考查了遞推式的意義、等比數列與等差數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．