Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為4（

2

+1）．一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點．
（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁•k₂=1．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意知，確定橢圓離心率，利用橢圓的定義得到又2a+2c=4（

2

+1），解方程組即可求得橢圓的方程，等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點可求得該雙曲線的方程；
（2）設點P（x₀，y₀），根據斜率公式求得k₁、k₂，把點P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可證明結果．

解答： 解：（1）設橢圓的半焦距為c，由題意知：

c

a

=

2

2

，2a+2c=4（

2

+1），
所以a=2

2

，c=2，
又a²=b²+c²，因此b=2．
故橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1．（4分）
由題意設等軸雙曲線的標準方程為

x2

m2

-

y2

m2

=1（m＞0），
因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以m=2，
因此雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

4

=1．（8分）
（2）證明：P（x₀，y₀），
則k₁=

y0

x0+2

，k₂=

y0

x0-2

．
因為點P在雙曲線x²-y²=4上，所以x02-y02=4．
因此k₁k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=1．，即k₁k₂=1．（14分）

點評：本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．