Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x-lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{a}{x}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a≤x-lnx對(duì)任意x＞0恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x-lnx，（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）不等式$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{a}{x}$恒成立，
即a≤x-lnx對(duì)任意x＞0恒成立，
由（Ⅰ）得：f（x）=x-lnx在x=1處取得最小值1，
∴a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．