Question

10．已知拋物線C：y²=8x與直線y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線方程可知直線恒過定點，如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根據(jù)|FA|=2|FB|，推斷出|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連接OB，可知|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，推斷出|OB|=|BF|，進而求得點B的橫坐標，則點B的坐標可得，最后利用直線上的兩點求得直線的斜率．

解答 解：設(shè)拋物線C：y²=8x的準線為l：x=-2
直線y=k（x+2）恒過定點P（-2，0）
如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，
點B為AP的中點、連接OB，
則|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
又∵|FA|=2|FB|，
∴|OB|=|BF|，點B的橫坐標為1，
∵k＞0，
∴點B的坐標為（1，2$\sqrt{2}$），
∴k=$\frac{2\sqrt{2}-0}{1-（-2）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．