Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+4x-lnx．
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，若f（x）是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)題意可知f'（x）≤0，可轉(zhuǎn)化為ax²+4x-1≤0（x＞0）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：f（x）的定義域是為（0，+∞）
（1）a=-3$f（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+4x-lnx$$⇒f'（x）=-3x+4-\frac{1}{x}=-\frac{{3{x^2}-4x+1}}{x}$
令$f'（x）＞0⇒\frac{1}{3}＜x＜1$，
令$f'（x）＜0⇒x＞1或0＜x＜\frac{1}{3}$，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（\frac{1}{3}，1）$，單調(diào)減區(qū)間為$（0，\frac{1}{3}）$、（1，+∞）．…（6分）
（2）要使f（x）是減函數(shù)，必須使f'（x）≤0，即$f'（x）=ax+4-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}+4x-1}}{x}$，
由于x＞0，要使f'（x）≤0，只要ax²+4x-1≤0即$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△={4^2}-4a（-1）≤0⇒a≤-4\end{array}\right.$
∴a≤-4
故a的取值范圍為（-∞，-4]．    …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)中參數(shù)的討論問題，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．