Question

18．某廠家擬舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元（m≥0）滿(mǎn)足x=3-$\frac{k}{m+1}$（k為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量只能是1萬(wàn)件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的價(jià)格定為年平均每件產(chǎn)品成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷(xiāo)費(fèi)用）
（1）將該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)
（2）該廠家年促銷(xiāo)費(fèi)用投入為多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析 （1）由題目中產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)關(guān)系式為：x=3-$\frac{k}{m+1}$，當(dāng)m=0時(shí)，x=1，可得k的值，即得x關(guān)于m的解析式；又每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5×$\frac{8+16x}{x}$（萬(wàn)元），則利潤(rùn)y=x[1.5×$\frac{8+16x}{x}$]-（8+16x+m）整理即可．
（2）對(duì)（1）利潤(rùn)函數(shù)y=-[$\frac{16}{m+1}$+（m+1）]+29（m≥0），利用基本不等式求最大值即可．

解答 解：（1）由題意知，當(dāng)m=0時(shí)，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-$\frac{2}{m+1}$；
每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5×$\frac{8+16x}{x}$（萬(wàn)元），
∴利潤(rùn)函數(shù)y=x[1.5×$\frac{8+16x}{x}$]-（8+16x+m）
=4+8x-m=4+8（3-$\frac{2}{m+1}$）-m
=-[$\frac{16}{m+1}$+（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)y=-[$\frac{16}{m+1}$+（m+1）]+29（m≥0），
所以，當(dāng)m≥0時(shí)，$\frac{16}{m+1}$+（m+1）≥8，
∴y≤-8+29=21，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16}{m+1}$=m+1，即m=3（萬(wàn)元）時(shí)，y_max=21（萬(wàn)元）．
所以，該廠家2008年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大為21萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了商品利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的靈活運(yùn)用，是中檔題目．