Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，點(diǎn)M在線段AB上．
（1）若CM=

13

，求AM的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)N在線段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面積最小值并求△MCN的最小面積時(shí)MN的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用,基本不等式

專題：轉(zhuǎn)化思想,解三角形

分析：（1）CM=

13

，直接利用余弦定理求AM的長(zhǎng)；
（2）設(shè)∠ACM=α，α∈[0°，60°]在△ACN中，由正弦定理求出CN，在△ACM中，由正弦定理求出CM，然后表示出△MCN的面積，利用三角函數(shù)的有界性求出三角形面積的最小值并求△MCN的最小面積時(shí)MN的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，點(diǎn)M在線段AB上．
∵CM=

13

，
∴CM²=AC²+AM²-2AC•AMcosA；
即13=16+AM²-4•AM，
解得AM=1或AM=3．
（2）設(shè)∠ACM=α，α∈[0°，60°]在△ACN中，由正弦定理得：

CN

sinA

=

AC

sin∠CNA

=

AC

sin(90°+α)

=

AC

cosα

∴CN=

2 3

cosα

．
在△ACM中，由正弦定理得：

CM

sinA

=

AC

sin∠AMC

=

AC

sin(60°+α)

∴CM=

2 3

sin(60°+α)

．
∴S△MCN=

1

2

CM•CNsin∠MCN=

3

sin(60°+α)cosα

=

12

2sin(2α+60°)+ 3

，
∵0°≤α≤60°
∴60°≤2α+60°≤180°，
∴0≤sin（2α+60°）≤1
∴當(dāng)α=15°時(shí)，△MCN的面積最小為：24-12

3

，
此時(shí)MN最小值為

24-12 3

2 3

=4

3

-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的以及的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．