Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$，下面是關(guān)于此函數(shù)的有關(guān)命題，其中正確的有（　�。�
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）既有最大值又有最小值；
③函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且其圖象有對(duì)稱軸；
④對(duì)于任意的x∈（-1，0），f'（x）＜0（f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．

• A． ②③
• B． ①③
• C． ②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 將函數(shù)$f（x）=\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$=$\frac{sinπx}{{（x}^{2}+1）（（x-1）^{2}+1}）$，對(duì)以下各選項(xiàng)一次判斷即可．

解答 解：由函數(shù)$f（x）=\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$=$\frac{sinπx}{{（x}^{2}+1）（（x-1）^{2}+1}）$
對(duì)于①函數(shù)f（x）顯然不是周期函數(shù)．
對(duì)于②，因?yàn)閟inπx有最值，函數(shù)f（x）的分母恒大于0，故f（x）有最大值又有最小值；②正確．
對(duì)于③，分母恒大于0，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，sinπx是周期函數(shù)，其圖象有對(duì)稱軸，③正確．
對(duì)于④，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{16}{13}$，f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{81\sqrt{3}}{500}$，∴f（-$\frac{1}{2}$）＜f（-$\frac{1}{3}$），故④不正確，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，考查三角函數(shù)知識(shí)，屬于中檔題．