Question

16．如圖，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF∥CE且AF=2CE，G是線段BF上一點，AB=AF=BC=2．
（Ⅰ）當(dāng)GB=GF時，求證：EG∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-BF-A的余弦值；
（Ⅲ）是否存在點G，滿足BF⊥平面AEG？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)GB=GF時，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明EG∥平面ABC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角E-BF-A的余弦值；
（Ⅲ）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：取AB中點D，連接GD，CD，
又GB=GF，所以AF=2GD．
因為AF∥CE且AF=2CE，所以GD平行且等于CE，四邊形GDCE是平行四邊形，
所以CD∥EG因為EG?平面ABC，CD?平面ABC
所以EG∥平面ABC．
（Ⅱ）解：因為平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，
且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB，AF⊥BC
因為BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．
如圖，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0）是平面ABF的一個法向量．
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2y+z=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$
令y=1，則z=-2，x=-2，所以$\overrightarrow{n}$=（-2，1，-2），所以cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{2}{2•\sqrt{4+1+4}}$=$\frac{1}{3}$，
由題知二面角E-BF-A為鈍角，所以二面角E-BF-A的余弦值為-$\frac{1}{3}$．
（Ⅲ）解：因為$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AE}$=（-2，0，2）•（2，2，1）=-20≠0，所以BF與AE不垂直，
所以不存在點G滿足BF⊥平面AEG．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及空間二面角的計算，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．