Question

5．設(shè)p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；q：實數(shù)x滿足$\frac{x-3}{x-2}$＜0．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1，對于p：x²-4x+3＜0，利用一元二次不等式的解法可得實數(shù)x的取值范圍．由 $\frac{x-3}{x-2}$＜0，化為（x-2）（x-3）＜0，解得實數(shù)x的取值范圍．若p∧q為真，則p真且q真，即可得出．
（2）設(shè)A={x|p（x）}，B={x|q（x）}=（2，3），由p是q的必要不充分條件，可得B?A，對a分類討論，即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，對于p：x²-4x+3＜0，解得1＜x＜3，即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．
由 $\frac{x-3}{x-2}$＜0，化為（x-2）（x-3）＜0，解得2＜x＜3，因此q為真時實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．
若p∧q為真，則p真且q真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，∴實數(shù)x的取值范圍是（2，3）．
（2）設(shè)A={x|p（x）}，B={x|q（x）}=（2，3），
∵p是q的必要不充分條件，∴B?A，
由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
當(dāng)a＞0時，A=（a，3a），有 $\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2；
當(dāng)a＜0時，A=（3a，a），顯然A∩B=∅，不合題意．
∴實數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2．

點評 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法、集合之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．