Question

已知x∈R，函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[0，+∞]都有f（x）＞2^-x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性與奇偶性把f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，轉(zhuǎn)化為2m+1＞-（m²-2m-4），解出即可．
（II）對(duì)任意的x∈[0，+∞]都有f（x）＞2^-x成立，化為k＞1-4^x對(duì)任意的x∈[0，+∞]恒成立，等價(jià)于k＞（1-4^x）_max，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且x∈R．
∴f（0）=0，
∴2⁰+k•2⁰=0，解得k=-1．
∴f（x）=2^x-2^-x．
∵f′（x）=2^xln2+2^-xln2=（2^x+2^-x）ln2＞0，
∴f（x）在R上是增函數(shù)，
∵f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，
∴2m+1＞-（m²-2m-4），
化為m²＞3，
解得m＜-

3

或m＞

3

．
（II）∵對(duì)任意的x∈[0，+∞]都有f（x）＞2^-x成立，
∴2^x+k•2^-x＞2^-x成立，
∴化為k＞1-4^x對(duì)任意的x∈[0，+∞]恒成立，
∴k＞（1-4^x）_max，
又令g（x）=1-4^x，則g（x）在x∈[0，+∞]單調(diào)遞減，
∴t≤1-4⁰=0，
∴k＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性奇偶性，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．