Question

20．如圖所示，從一個半徑（1+$\sqrt{3}$）m的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個正四棱錐，則該四棱錐的體積是（　�。﹎³．

• A． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 由折疊前的圖形知，底面正方形ABCD，側面正△PAB，斜高PM，AB：PM=2：$\sqrt{3}$，由 $\frac{1}{2}$AB+PM=（1+$\sqrt{3}$）m，得AB=2m，PM=$\sqrt{3}$m，從而得出四棱錐的高和體積．

解答 解：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面正方形ABCD，側面正△PBC，
斜高PM，AB：PM=2：$\sqrt{3}$，
且$\frac{1}{2}$AB+PM=（1+$\sqrt{3}$）m，則AB=2m，h=$\sqrt{（\sqrt{3}m）^{2}-{m}^{2}}$=$\sqrt{2}$m，
所以，該四錐體的體積為：V=$\frac{1}{3}$•S_{正方形ABCD}•h=$\frac{1}{3}$•（2m）²•$\sqrt{2}$m=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$m³．
故選：A．

點評 本題是通過四棱錐的側面展開圖求其體積，關鍵是由斜高，高和斜高在底面的射影組成Rt△，求出高，從而求得體積．