Question

10．已知橢圓與雙曲線$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$有共同的焦點，且離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則橢圓的標準方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{25}=1$
• B． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$
• C． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$
• D． $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{25}=1$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程求出雙曲線的焦點坐標，可以設出橢圓的標準方程，分析可得a²-b²=5①，又由其離心率可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$②，聯(lián)立解可得a、b的值，將其代入橢圓的方程，計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$，其焦點在x軸上，
且c=$\sqrt{3+2}$=$\sqrt{5}$，
則雙曲線的焦點坐標為（±$\sqrt{5}$，0）；
要求橢圓的焦點也在x軸上，設其方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
有$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{5}$，即a²-b²=5，①
又由其離心率e=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，②
解可得a=5，b=2$\sqrt{5}$，
則橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1；
故選：C．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關鍵是求出雙曲線的焦點坐標，從而列出橢圓中關于a、b的方程組．