Question

已知點F（1，0），直線L：x=-1，P為平面上的動點，過點P作直線L的垂線，垂足為Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）是否存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有

FA

•

FB

＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P的坐標為（x，y），則Q（-1，y），根據向量數量積的坐標運算公式，化簡等式

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，即可得到動點P的軌跡C的方程為y²=4x；
（2）設過點M的直線l方程為x=ty+m，直線l交曲線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由直線l方程與曲線C方程消去x得關于y的一元二次方程，利用根與數的關系得

y1+y2=4t y1y2=-4m

．根據

FA

•

FB

＜0利用數量積的坐標運算，化簡得x₁x₂-（x₁-x₂）+1+y₁y₂＜0．根據曲線C的方程與前面得到的等式，化簡得不等式m²-6m+1＜4t²，從而得出m²-6m+1＜0，解之得m的取值范圍是(3-2

2

，3+2

2

)．由此可得存在滿足題中條件的正數m．

解答：解：（1）設P的坐標為（x，y），則Q（-1，y），可得

QP

=（x+1，0），

QF

=（2，-y），

FP

=（x-1，y），

FQ

=（-2，y），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（x+1）•2=（x-1）（-2）+y²，化簡得y²=4x，
即動點P的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）設l的方程為x=ty+m，過點M（m，0）（m＞0）的直線l與
曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x=ty+m y2=4x

消去x，得y²-4ty-4m=0．…（*）
則y₁、y₂是方程（*）的兩根．
∴△=16（t²+m）＞0，且

y1+y2=4t y1y2=-4m

①
又∵

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，
∴

FA

•

FB

＜0，可得（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，即x₁x₂-（x₁-x₂）+1+y₁y₂＜0…②
由于x1x2=

y12

4

 •

y22

4

，代入不等式②可得：

y 2 1

4

•

y 2 2

4

+y1y2-(

y 2 1

4

+

y 2 2

4

)+1＜0，
化簡得

( y   1 y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1＜0…③
由①式，化簡不等式③得m²-6m+1＜4t²，…④
對任意實數t，不等式4t²≥0恒成立，
∴不等式④對于一切t成立等價于m²-6m+1＜0，
解之得3-2

2

＜m＜3+2

2

．
由此可得：存在正數m，對于過點M（m，0），且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，
都有

FA

•

FB

＜0，且m的取值范圍是(3-2

2

，3+2

2

)．

點評：本題著重考查了動點軌跡的求法、一元二次方程根與系數的關系、直線與拋物線的位置關系和向量數量積運算等知識，同時考查了邏輯思維能力、計算能力和轉化化歸的數學思想等知識，屬于中檔題．