Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+x-a）e 

x

a

（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=5時(shí)，求f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x²+x-1）e^x．f′（x）=（x²+3x）e^x．令f′（x）=0，解得x=0，-3．列出表格，即可得出函數(shù)的頂點(diǎn)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)f（x）=（x²+x-5）e

x

5

．可得f′（x）=

x

5

(x+11)e

x

5

．令f′（x）=0，解得x=0，-11．列出表格，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出極值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x²+x-1）e^x．
∴f′（x）=（x²+3x）e^x．
令f′（x）=0，解得x=0，-3．
列出表格：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3），（0，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，0）．
（2）當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)f（x）=（x²+x-5）e

x

5

．
∴f′（x）=

x

5

(x+11)e

x

5

．
令f′（x）=0，解得x=0，-11．
列出表格如下：

x	（-∞，-11）	-11	（-11，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當(dāng)x=-11時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-11）=105；當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（0）=-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了推理能力和技能數(shù)列，屬于中檔題．