已知O為坐標(biāo)原點，平面向量
OA
=（
3
，-1），
OB
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）證明：
OA
⊥
OB
；
（2）若點C為
OA
和
OB
夾角平分線上的點，且|
OC
|=4，求向量
OC
．
分析：（1）由向量
OA
和
OB
的坐標(biāo)，求出
OA
•
OB
=0，利用兩個向量垂直的條件可得
OA
⊥
OB
．
（2）設(shè)
OC
=（x，y），則易知直線OC的傾斜角等于15°，再由 x=4cos15°=4cos （45°-30°），y=4sin15°=4sin （45°-30°），利用兩角和差的正弦、余弦公式
求出x、y的值，從而求得
OC
的坐標(biāo)．
解答：解：（1）證明：∵平面向量
OA
=（
3
，-1），
OB
=（
1
2
，
3
2
），∴
OA
•
OB
=
3
×
1
2
+（-1）×
3
2
=0，
∴
OA
⊥
OB
．  
（2）設(shè)
OC
=（x，y），則易知
OC
所在的直線與x軸的夾角為15°，即直線OC的傾斜角等于15°．
再由|
OC
|=4 可得 x=4cos15°=4cos （45°-30°）=4（
2
2
×
3
2
+
2
2
×
1
2
）=
6
+
2
，
y=4sin15°=4sin （45°-30°）=4（
2
2
×
3
2
-
2
2
×
1
2
）=
6
-
2
，
故
OC
=（
6
+
2
，
6
-
2
）．
點評：本題主要考查兩個向量垂直的條件，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點，A（1，2，-1），點C與點A關(guān)于平面xOy對稱，點B與點A關(guān)于x軸對稱，則
BC
=（　�。�
A、（-2，0，2）
B、（0，-4，0）
C、（0，4，2）
D、（-2，4，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點，A，B兩點的坐標(biāo)均滿足不等式組
x-3y+1≤0
x+y-3≤0
x-1≥0
，則tan∠AOB的最大值等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點，向量
OA
=(sinα，1)，
OB
=(cosα，0)，
OC
=(-sinα，2)，點P滿足
AB
=
BP
．
（Ⅰ）記函數(shù)f(α)=
PB
•
CA
，求函數(shù)f（α）的最小正周期；
（Ⅱ）若O，P，C三點共線，求|
OA
+
OB
|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點，點P（x，y），其中x，y滿足
x+2y-5≤0
x+2y-3≥0
x≥1
y≥0
，則直線OP的斜率的最大值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點，
OA
=(1，1)，
OB
=(3，-1)，
OC
=(a，b)
（Ⅰ）若
AC
=2
AB
，求點C的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若A，B，C三點共線，求a+b的值．

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