Question

15．如圖，在△ABC中，D為線段AB上的點(diǎn)，且AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，則$\frac{sin2B}{sinA}$=$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，CD=y，則AB=3x，BC=3y；
利用余弦定理求出x²、y²的關(guān)系，再用二倍角化簡$\frac{sin2B}{sinA}$，
利用正弦、余弦定理即可求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)AC=x，CD=y，則AB=3x，BC=3y；

∴cosA=$\frac{{x}^{2}{+x}^{2}{-y}^{2}}{2•x•x}$=$\frac{{9x}^{2}{+x}^{2}-{9y}^{2}}{2•3x•x}$，
化簡得x²=$\frac{3}{2}$y²；
∴$\frac{sin2B}{sinA}$=$\frac{2sinBcosB}{sinA}$
=2•$\frac{x}{3y}$•$\frac{{9x}^{2}+{9y}^{2}{-x}^{2}}{2•3x•3y}$
=$\frac{{8x}^{2}+{9y}^{2}}{2{7y}^{2}}$
=$\frac{8}{27}$•$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{7}{9}$．
故答案為：$\frac{7}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦、余弦定理的靈活應(yīng)用問題，是綜合題．