Question

2．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，若直線l過原點(diǎn)，且被曲線C截得的弦長最小，求直線l的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ即把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用垂徑定理、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．

解答 解：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，
展開化為：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）-2=0，
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-2x+2y-2=0，配方為：（x-1）²+（y+1）²=4，
可得圓心C（1，-1），半徑r=2．
∵直線l過原點(diǎn)，且被曲線C截得的弦長最小，∴OC⊥l，
∵k_OC=-1，∴k_l=1．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、垂徑定理、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．