Question

17．如圖甲，圓O的直徑AB=2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，使∠CAB=$\frac{π}{4}$，∠DAB=$\frac{π}{3}$，沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，根據(jù)圖乙解答下列各題：
（1）求點(diǎn)B到平面ACD的距離；
（2）如圖：若∠DOB的平分線交$\widehat{BD}$于一點(diǎn)G，試判斷FG是否與平面ACD平行？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等體積方法求點(diǎn)B到平面ACD的距離；
（2）BD弧上存在一點(diǎn)G，滿足DG=GB，使得FG∥面ACD．通過(guò)中位線定理可得面FOG∥面ACD，再由性質(zhì)定理，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在圖甲中，∵AB是圓O的直徑，
∴AD⊥BD，AC⊥BC，
∵AB=2，∠DAB=$\frac{π}{3}$，
∴AD=1，BD=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵∠CAB=$\frac{π}{4}$，
∴OC⊥AB，OC=$\frac{1}{2}$AB=1．
在圖乙中，
∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，
∴OC⊥平面ABD，
∴V_C-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∵△ACD中，AC=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，AD=1，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
設(shè)點(diǎn)B到面ACD的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{4}h$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴h=$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$
∴點(diǎn)B到面ACD的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
（2）FG∥面ACD，理由如下：
連結(jié)OF，則△ABC中，F(xiàn)，O分別為BC，AB的中點(diǎn)，
∴FO∥AC，
又∵FO?面ACD，AC?面ACD，
∴FO∥面ACD，
∵OG是∠DOB的平分線，且OD=OB，令OG交DB于M，
則M是BD的中點(diǎn)，連結(jié)MF，則MF∥CD，
又∵M(jìn)F?面ACD，CD?面ACD，
∴MF∥面ACD，
且MF∩FO=F，MF，F(xiàn)O?面FOG，
∴面FOG∥面ACD．
又FG?面FOG，
∴FG∥面ACD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，注意運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理，考查線面平行的判定，注意運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理，考查空間線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想和推理及運(yùn)算能力，屬于中檔題．