Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=CD=2AB=2，△PAD是等邊三角形，M、N分別為BC、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PAB；
（2）若MN⊥PD，求二面角P-AD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PC中點(diǎn)Q，可證面NQM∥面PAB，得MN∥面PAB；
（2）取AD中點(diǎn)O，PO⊥AD，MO⊥AD，∠POM是二面角P-AD-C平面角，解三角形得二面角P-AD-C的余弦值．

解答： 證明：（1）取PC中點(diǎn)Q，連接QN，QM，如下圖所示：

∵M(jìn)、N分別為BC、PD的中點(diǎn)．
∴QM∥PB，
又∵QM?平面PAB，PB?平面PAB，
∴QM∥平面PAB，
同理QN∥平面PAB，
∵QM∩QN=Q，QM，QN?平面NQM
∴平面NQM∥平面PAB，
又∵M(jìn)N?平面NQM
∴MN∥面PAB；
解：（2）取AD中點(diǎn)O，連接OP，OM，

∵△PAD是等邊三角形，
∴PO⊥AD，
∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴MO⊥AD，
∴∠POM是二面角P-AD-C平面角，
∵BC=CD=2AB=2，
∴AD=

3

，MB=MC=1，∠BCD=

π

3

，
∴MD=

3

，PO=

3

2

×

3

=

3

2

，
又∵M(jìn)N⊥PD，
∴PM=MD=

3

，MO=

3

2

，
由余弦定理得：cos∠POM=

1

3

．
故二面角P-AD-C的余弦值為

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線(xiàn)與平面平行的判定，平面與平面平行的判定與性質(zhì)，難度中檔．