Question

【題目】如圖，四棱柱的底面為菱形，且.

（1）證明：四邊形為矩形；

（2）若，與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：(1)由四棱柱性質(zhì)可知四邊形 為平行四邊形，連接，設(shè)，連接.，易證∴平面，∴.∵，∴； (2) 過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，由已知可得點(diǎn)在上，證明點(diǎn)與點(diǎn)重合，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系求出平面與平面的法向量，代入公式計(jì)算即可.

試題解析：

（1）證明:連接，設(shè)，連接.

∵，∴.

又為的中點(diǎn)，∴..

∴平面，∴.

∵，∴.

又四邊形是平行四邊形，則四邊形為矩形.

（2）解:過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，由已知可得點(diǎn)在上，∴.

設(shè)，則.

在菱形中，，∴.

∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，則平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

則.

∴.

設(shè)平面的法向量為，則 ,∴即

取，可得為平面的一個(gè)法向量.

同理可得平面的一個(gè)法向量為。

∵.所以二面角的余弦值為.