Question

18．函數(shù)$f（x）=\frac{3}{sinx}-\frac{1}{tanx}，x∈（0，\frac{π}{2}）$的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 $f（x）=\frac{3}{sinx}-\frac{cosx}{sinx}=\frac{3-cosx}{sinx}$，令$\frac{3-cosx}{sinx}=k$，則有ksinx+cosx=3⇒$\sqrt{{k}^{2}+1}sin（x+θ）=3$⇒sin（x+θ）=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}≤1$即可求解．

解答 解：$f（x）=\frac{3}{sinx}-\frac{cosx}{sinx}=\frac{3-cosx}{sinx}$，
令$\frac{3-cosx}{sinx}=k$，則有ksinx+cosx=3⇒$\sqrt{{k}^{2}+1}sin（x+θ）=3$，
⇒sin（x+θ）=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}≤1$，
⇒k²≥8，∴函數(shù)$f（x）=\frac{3}{sinx}-\frac{1}{tanx}，x∈（0，\frac{π}{2}）$的最小值為2$\sqrt{2}$，
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的最值求法，考查了轉化思想，計算能力，屬于中檔題．