9.已知a>0,函數(shù)$f(x)=-2asin({2x+\frac{π}{6}})+2a+b$,且-5≤f(x)≤3.
(1)求常數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)$g(x)=f({x+\frac{π}{2}})$且lgg(x)>0,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析 (1)由條件根據(jù)正弦函數(shù)的值域,可得$\left\{\begin{array}{l}4a+b=3\\ b=-5\end{array}\right.$,由此解得常數(shù)a,b的值.
(2)由題意可得$sin({2x+\frac{π}{6}})>\frac{1}{2}$,再由2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,由此求得x的范圍,即為g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解答 解:(1)∵a>0,函數(shù)$f(x)=-2asin({2x+\frac{π}{6}})+2a+b$,且-5≤f(x)≤3,
可得$\left\{\begin{array}{l}4a+b=3\\ b=-5\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-5\end{array}\right.$.
(2)由(1),可得$f(x)=-4sin({2x+\frac{π}{6}})-1$,$g(x)=4sin({2x+\frac{π}{6}})-1$,
∴g(x)=-2sin[2(x+$\frac{π}{2}$)+$\frac{π}{6}$]-1=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)-1,
又由lgg(x)>0,得$sin({2x+\frac{π}{6}})>\frac{1}{2}$,再由2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,
求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$,可得函數(shù)g(x)的增區(qū)間為[kπ,kπ+$\frac{π}{6}$],k∈Z.

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的值域,三角不等式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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4.直線y=kx-1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{t}$=1恒有公共點(diǎn),則t的值可能是(  )
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14.如圖,在一次軍事演習(xí)中,藍(lán)方在一條東西走向公路上的A處朝正南方撤退,紅方在公路B處沿南偏西60°方向?qū)嵤⿺r截,紅方行駛1000米到C處,發(fā)現(xiàn)前方無法通行,決定調(diào)整方向再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離,剛好在D處攔截到藍(lán)方,求攔截點(diǎn)D到公路的距離.

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1.為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
是否需要志愿者
性別
需要4030
不需要160270
P(K2≥k)0.050.010.001
k3.8416.63510.828
附:K2的觀測值$k=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.
(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(2)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下是否可認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?

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18.在(2x+y+z)10的展開式中,x3y2z5的系數(shù)為20160.

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19.要證:a2+b2-1-a2b2≥0,只要證明(  )
A.2ab-1-a2b2≥0B.(a2-1)(b2-1)≥0
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