Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），且雙曲線的漸近線與圓（x-2）²+y²=3相切，則雙曲線的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由題意求出雙曲線的漸近線方程，并化為一般式方程，由直線與圓相切的條件和點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)和a、b、c的關(guān)系列出方程，聯(lián)立后求出a、b的值，可得答案．

解答 解：由題意知，雙曲線的漸近線方程為$y=±\frac{a}x$，即bx±ay=0，
因它與圓（x-2）²+y²=3相切，則$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\sqrt{3}$，①
又 一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，②
聯(lián)立①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以雙曲線方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故答案為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的條件，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查方程思想，化簡、計(jì)算能力．