Question

7．已知函數(shù)f（x）=1+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若把f（x）向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x），求g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換，化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值和最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=1+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
（Ⅰ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）若把函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象，
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{π}{6}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-2，1]．
故g（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{2}，0}]$上的最小值為-2，最大值為1．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．