Question

10．如圖，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC=4，D、E分別是AB、BC邊的中點，沿DE將△BDE折起至△FDE，且∠CEF=60°．
（Ⅰ）求四棱錐F-ADEC的體積；
（Ⅱ）求證：平面ADF⊥平面ACF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作FM⊥EC于M，則FM⊥平面ACED，即可求出四棱錐F-ADEC的高h，求出梯形ACED的面積s，四棱錐F-ADEC的體積v=$\frac{1}{3}sh$．
（Ⅱ）（法一）如圖2．取線段AF、CF的點N、Q，連接DN、NQ、EQ，只需證明DN⊥平面ACF即可，
（法二）連接BF，證明BF⊥平面ACF即可．

解答 解：（Ⅰ）D、E分別是AB、BC邊的中點，∴DE平行且等于AC的一半，DE⊥BC，DE=1…（1分）
依題意，DE⊥EF，BE=EF=2，
∵EF∩EC=E，∴DE⊥平面CEF，∵DE平面CEF，
∴平面ACED⊥平面CEF…（3分）
作FM⊥EC于M，則FM⊥平面ACED，∵∠CEF=60°，∴$FM=\sqrt{3}$…（4分）
梯形ACED的面積$S=\frac{1}{2}（AC+ED）×EC=\frac{1}{2}（1+2）×2=3$…（5分）
四棱錐F-ADEC的體積$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}×3×\sqrt{3}=\sqrt{3}$…（6分）
（Ⅱ）（法一）如圖2．取線段AF、CF的點N、Q，連接DN、NQ、EQ，則NQ平行且等于AC的一半，
∴NQ平行且等于DE，DEQN是平行四邊形，DN∥EQ…（7分）
∵EC=EF，∠CEF=60°，∴△CEF是等邊三角形，EQ⊥FC，
又∵DE⊥平面CEF，DE⊥EQ，∴AC⊥EQ，
∵FC∩AC=C，∴EQ⊥平面ACF…（10分）∴DN⊥平面ACF，
又DN平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF…（12分）
（法二）連接BF，∵EC=EF，∠CEF=60°，∴△CEF是邊長為2等邊三角形…（7分）
∵BE=EF，∴$∠EBF=\frac{1}{2}∠CEF={30}^{0}$，∴∠BFC=90°，BF⊥FC…（8分）
DE⊥平面BCF，DE∥AC，∴AC⊥平面BCF…（10分）
∵BF平面BCF，∴AC⊥BF，又∵FC∩AC=C，
∴BF⊥平面ACF，又∵BF?平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF…（12分）

點評 本題考查了空間幾何體的體積，及面面垂直的判定，屬于中檔題．