Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4，設(shè)曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n+1，0），其中x₁為正實數(shù)，n∈N^*．
（1）用x_n表示x_n+1；
（2）若x₁=4，記an=lg

xn+2

xn-2

(n∈N*)，試判斷數(shù)列{a_n}是否是等比數(shù)列，若是求出其公比；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，設(shè)bn=

(2n+5)lg3

2(2n+1)(2n+3)an

，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，證明：

7

30

≤Sn＜

1

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線的斜率，從而得到切線方程．將y=0代入方程即可得出x_n與x_n+1的關(guān)系；
（2）利用等比數(shù)列的定義即可判斷該數(shù)列是等比數(shù)列，并可求出公比；
（3）先化簡b_n，然后利用分組求和法求出S_n，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可．

解答： 解：（1）由題可得f'（x）=2x，
∴曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線方程是
y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-(xn2-4)=2xn(x-xn)，
令y=0，
得-(xn2-4)=2xn(xn+1-xn)，
即xn2+4=2xnxn+1，
顯然x_n≠0，
∴xn+1=

2xn2+4

xn

．
（2）數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，證明如下：
由xn+1=

2xn2+4

xn

，an=lg

xn+2

xn-2

得
an+1=lg

xn+1+2

xn+1-2

=lg

xn2+4 2xn +2

xn2+4 2xn -2

=lg

(xn+2)2

(xn-2)2

=lg(

xn+2

xn-2

)2=2lg

xn+2

xn-2

=2an，
∴

an+1

an

=2，
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，公比為2．                              
（3）∵x₁=4，
∴a1=lg

x1+4

x1-4

=lg3，
由（2）得an=a1•2n-1=2n-1lg3，
∴bn=

(2n+5)lg3

2(2n+1)(2n+3)•an

=

2n+5

(2n+1)(2n+3)

•

1

2n

=(

2

2n+1

-

1

2n+3

)•

1

2n

=

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=(

1

3

-

1

5•2

)+(

1

5•2

-

1

7•22

)+…+[

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

]
=

1

3

-

1

(2n+3)2n

，
故數(shù)列{b_n}的前n項和Sn=

1

3

-

1

(2n+3)2n

，
∵

1

(2n+3)•2n

＞0，
∴Sn＜

1

3

，
又∵

1

(2n+3)•2n

單調(diào)遞增，
∴Sn=

1

3

-

1

(2n+3)•2n

單調(diào)遞減，
∴當n=1時，S_n的最小值為

7

30

，
∴

7

30

＜Sn＜

1

3

．

點評：本題考查等比數(shù)列的相關(guān)知識以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性，數(shù)列求和，不等式等知識的綜合應(yīng)用．屬于難題．