Question

點P是圓x²+y²=16上的一個動點，過點P作PD垂直于x軸，垂足為D，Q為線段PD的中點．
（1）求點Q的軌跡方程．
（2）若經(jīng)過點（-1，1）的直線與Q點軌跡有兩個不同交點，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意點P是圓x²+y²=16上的一個動點，過點P作PD垂直于x軸，垂足為D，Q為線段PD的中點，可得點Q的坐標與點P的坐標的關系，用中點Q的坐標表示出點P的坐標，然后再代入圓的方程求出點Q的軌跡方程
（2）由（1）點Q的軌跡是一個橢圓，由于點（-1，1）在橢圓的內部，過點（-1，1）的直線與橢圓一定有兩個交點，故可得k∈R

解答：解：由題意，令Q（x，y），P（s，t），
由于點P是圓x²+y²=16上的一個動點，過點P作PD垂直于x軸，垂足為D，Q為線段PD的中點
∴s=x，t=2y，又點P是圓x²+y²=16上的一個動點
∴x²+4y²=16，即為點Q的軌跡方程
（2）由（1）點Q的軌跡是橢圓

x2

16

+

y2

4

=1
由于點（-1，1）一定在橢圓內，故過點點的直線一定與橢圓有兩個交點
所以此直線的斜率的取值范圍是R

點評：本題考查直線與圓方程的應用，解答本題關鍵點有二，一是熟練掌握代入法求軌跡方程，二是確定點（-1，1）在橢圓的內部，從而判斷出直線斜率的取值范圍，本題考查了推理判斷的能力及代入法求軌跡方程技巧．