Question

19．記min$\left\{{a，b}\right\}=\left\{{\begin{array}{l}{a，}&{a≤b}\\{b，}&{a＞b}\end{array}}$，已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$滿足$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}$|=2，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，$\overrightarrow c=λ\overrightarrow a+μ\overrightarrow b\;，λ+μ=2$，則當min$\left\{{\overrightarrow c•\overrightarrow a，\overrightarrow c•\overrightarrow b}\right\}$取得最大值時，$|{\overrightarrow c}$|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 建立坐標系，得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$的坐標，依次計算$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow$得出min$\left\{{\overrightarrow c•\overrightarrow a，\overrightarrow c•\overrightarrow b}\right\}$關(guān)于μ的解析式，利用函數(shù)性質(zhì)求出min$\left\{{\overrightarrow c•\overrightarrow a，\overrightarrow c•\overrightarrow b}\right\}$取得最大值時μ的值，從而得出$\overrightarrow{c}$的坐標．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}$|=2，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（-1，$\sqrt{3}$），則$\overrightarrow{c}$=（λ-μ，$\sqrt{3}μ$）=（2-2μ，$\sqrt{3}μ$），
∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=2-2μ，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow$=5μ-2，
令2-2μ≤5μ-2得μ≥$\frac{4}{7}$，
∴min{$\left\{{\overrightarrow c•\overrightarrow a，\overrightarrow c•\overrightarrow b}\right\}$}=$\left\{\begin{array}{l}{2-2μ，μ≥\frac{4}{7}}\\{5μ-2，μ＜\frac{4}{7}}\end{array}\right.$，
∴當μ=$\frac{4}{7}$時，min$\left\{{\overrightarrow c•\overrightarrow a，\overrightarrow c•\overrightarrow b}\right\}$取得最大值，
此時$\overrightarrow{c}$=（$\frac{6}{7}$，$\frac{4\sqrt{3}}{7}$），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{\frac{36}{49}+\frac{48}{49}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，函數(shù)最值，屬于中檔題．