Question

15．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²（3+sin²θ）=12，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，$α∈（0，\frac{π}{2}）$）．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程，并判斷該曲線是什么曲線；
（2）設(shè)曲線C₂與曲線C₁的交點(diǎn)為A，B，P（1，0），當(dāng)$|PA|+|PB|=\frac{7}{2}$時(shí)，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系化簡(jiǎn)曲線C₁的極坐標(biāo)方程為普通方程；
（2）對(duì)參數(shù)方程x，y代入橢圓方程，然后根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，設(shè)|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，結(jié)合韋達(dá)定理得到所求．

解答 解：（1）由ρ²（3+sin²θ）=12得$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，該曲線為橢圓．（5分）
（2）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得t²（4-cos²α）+6tcosα-9=0，
由直線參數(shù)方程的幾何意義，設(shè)|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，${t_1}+{t_2}=\frac{-6cosα}{{4-{{cos}^2}α}}$，${t_1}{t_2}=\frac{-9}{{4-{{cos}^2}α}}$，
所以$|PA|+|PB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{12}{{4-{{cos}^2}α}}=\frac{7}{2}$，
從而${cos^2}α=\frac{4}{7}$，由于$α∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$cosα=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、把曲線的參數(shù)方程和曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立求交點(diǎn)等內(nèi)容．本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)運(yùn)算求解能力有一定要求．