Question

7．已知f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在定義域上的最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞$\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導數(shù)，極值點和單調(diào)區(qū)間，可得極小值和最小值；
（Ⅱ）討論$0＜t＜\frac{1}{e}$時，$t≥\frac{1}{e}$時，運用單調(diào)性，即可得到所求最小值；
（Ⅲ）問題等價于證明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$．由（1）設(shè)$m（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$，求出導數(shù)，求出最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，x＞0得f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{e}$．
當$x∈（0，\frac{1}{e}）$時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
可得最小值為-$\frac{1}{e}$…（3分）
（Ⅱ）當$0＜t＜\frac{1}{e}＜t+2$，即$0＜t＜\frac{1}{e}$時，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$…（4分）
當$\frac{1}{e}≤t＜t+2$，即$t≥\frac{1}{e}$時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，
此時f（x）_min=f（t）=tlnt…（6分）
所以$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}，0＜t＜\frac{1}{e}}\\{tlnt，t≥\frac{1}{e}}\end{array}}\right.$…（8分）
（Ⅲ）問題等價于證明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$．
由（1）知f（x）=xlnx，x＞0的最小值是$-\frac{1}{e}$，
當且僅當$x=\frac{1}{e}$時取到，設(shè)$m（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$，
則$m'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，易知$m{（x）_{max}}=m（1）=-\frac{1}{e}$，當且僅當x=1時取到．
從而對一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．…（12分）

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和最值，注意運用分類討論的方法和構(gòu)造函數(shù)的方法，考查運算能力，屬于中檔題．