Question

17．已知直線l與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$交于A，B兩點，且橢圓過$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓方程；
（2）求△AOB面積的最大值，及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用點的坐標(biāo)滿足方程，求出a，b即可得到橢圓方程．
（2）通過直線的斜率是否存在，分別求解滿足題意的三角形的面積表達式，利用最大值求解即可．

解答 解：（1）橢圓過$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$兩點兩點，1a2+12b2=112a2+34b2=1，解得a²=2，b²=1
可得橢圓方程：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，…（5分）
（2）當(dāng)l斜率不存在時，可設(shè)l：x=t，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sqrt{{t^2}（2-{t^2}）}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$當(dāng)且僅當(dāng)t²=2-t²，即t=±1…（7分）
當(dāng)l斜率存在時，可設(shè)l：y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程得：（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-1）=0，$△=8（1+2{k^2}-{m^2}）＞0，{x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2（{m^2}-1）}}{{1+2{k^2}}}$，$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（1+2{k^2}-{m^2}）}}}{{1+2{k^2}}}，h=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，…（10分）${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（1+2{k^2}-{m^2}）}}}{{1+2{k^2}}}-\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}\frac{{\sqrt{（1+2{k^2}-{m^2}）{m^2}}}}{{1+2{k^2}}}≤\sqrt{2}\frac{{\frac{1}{2}（1+2{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=1+2k²-m²，即${m^2}=\frac{1}{2}+{k^2}$…（14分）
故S_△AOB的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此時直線的方程為x=±1，$y=kx±\sqrt{{k^2}+\frac{1}{2}}$…（15分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．