Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，（x∈R）
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的值域．
（2）由f（C）=0求解角C，由正弦定理把sinB=2sinA轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再借助于余弦定理列式求解a，b的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
又∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，可得：sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，0]．
（2）由f（C）=0，得sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，則sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinA，
由正弦定理得，b=2a　�、�
由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcos$\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=3　　②
由①②解得a=1，b=2．

點評 本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的倍角公式，訓(xùn)練了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．