Question

5．已知f（x）=（log_mx）²+2log_mx-3（m＞0，且m≠1）．
（Ⅰ）當m=2時，解不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）f（x）＜0在[2，4]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當m=2時，可得（log₂x）²+2log₂x-3＜0，即為-3＜log₂x＜1，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得不等式的解集；
（Ⅱ）由f（x）＜0在[2，4]恒成立，得-3＜log_mx＜1在[2，4]恒成立，討論m＞1，0＜m＜1，解出x的范圍，再由恒成立思想，可得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當m=2時，f（x）＜0，
可得（log₂x）²+2log₂x-3＜0，
即為-3＜log₂x＜1，
解得$\frac{1}{8}$＜x＜2，
故原不等式的解集為{x|$\frac{1}{8}$＜x＜2}；
（Ⅱ）由f（x）＜0在[2，4]恒成立，
得-3＜log_mx＜1在[2，4]恒成立，
①當m＞1時，解得m^-3＜x＜m，
即有m^-3＜2且4＜m，
解得m＞4；
②當0＜m＜1時，解得m＜x＜m^-3，
即有m^-3＞4且m＜2，
解得0＜m＜$\frac{1}{\root{3}{4}}$．
故實數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{1}{\root{3}{4}}$）∪（4，+∞）．

點評 本題考查對數(shù)不等式的解法，注意運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論思想方法，以及不等式的解法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．