Question

14．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，異面直線A₁C₁與B₁C所成的角是60°，直線A₁C與平面ABCD所成角的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，二面角A₁-BD-A所成角的值是arctan$\sqrt{2}$，直線B₁C₁到平面ABCD的距離為B₁B．

Answer 1

分析 由直線A₁C₁∥AC，得∠B₁CA是異面直線A₁C₁與B₁C所成的角，由此能求出異面直線A₁C₁與B₁C所成的角．找出直線A₁C與平面ABCD所成角、二面角A₁-BD-A所成角、直線B₁C₁到平面ABCD的距離，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，∵直線A₁C₁∥AC，
∴∠B₁CA是異面直線A₁C₁與B₁C所成的角，
連結(jié)AB₁，AC，
∵△ACB₁是等邊三角形，
∴∠B₁CA=60°．
∴異面直線A₁C₁與B₁C所成的角是60°．
∠A₁CA為直線A₁C與平面ABCD所成角，正切值是$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
連接BD，與AC交于O，連接A₁O，則∠A₁OA為二面角A₁-BD-A所成角，
正切值是$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，∴二面角A₁-BD-A所成角的值是arctan$\sqrt{2}$，
直線B₁C₁到平面ABCD的距離為B₁B．
故答案為：60°，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．a(chǎn)rctan$\sqrt{2}$，B₁B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．